СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ

§ 2.1 Применение теории  вероятности к вопросам контроля качества

Технологический процесс изготовления изделий содержит более или менее значительные ошибки случайного характера, т.е. возникающие в результате влияния непостоянно действующих факторов. Такие ошибки следует отличать от систематических, которые возникают в результате неправильного выбора материалов, конструкции, неверных технологических предписаний. Процесс контроля изделий также содержит ошибки случайного характера. Для изучения случайных процессов привлекают методы статистики.
Основные задачи, решаемые с применением статистических методов, следующие:
1 Статистический анализ результатов контроля с целью регулирования технологии производства.
2 Установление оптимальных планов выборочного контроля и критериев оценки результатов в соответствии с задачами производства и эксплуатации.
3 Оценка точности и достоверности результатов контроля, оптимизация основных параметров (методики) контроля.
4 Установление корреляции между показателями качества, технологией изготовления продукции и ее эксплуатационными характеристиками, критериев оценки качества с учетом названных факторов, т.е. норм допустимых дефектов.

 В дальнейшем будут рассмотрены некоторые из сформулированных задач. С этой целью напомним основные понятия теории вероятности [6], интерпретируя их применительно к вопросам контроля качества продукции. В данном случае генеральной совокупностью называют все количество однотипных изделий, выпускаемых одним или несколькими предприятиями. Выборка — некоторое количество изделий, выпущенных за определенный период времени или отобранных для выборочного контроля. Законом распределения вероятности называют зависимость между значениями измеряемых случайных величин и вероятностью их появления.

 Понятие вероятности применяют к дискретным и непрерывно меняющимся величинам. Соответственно сами вероятности будут дискретными или непрерывно изменяющимися. Например, дискретной величиной будет вероятность нахождения числа дефектных и годных изделий в выборке из изделий, взятой для испытаний. Если вероятность наблюдения брака в результате одного испытания равна р, то вероятность обнаружить k бракованных в партии из п изделий будет [6]:

Этот закон распределения вероятностей называют биномиальным. Для него среднее значение (или математическое ожидание) равно

Это очевидный результат: если вероятность брака р, то в партии из n изделий наиболее вероятно встретим пр бракованных изделий.
Дисперсия (рассеяние) показывает, насколько велик разброс вероятности относительно найденного среднего значения. Для биномиального распределения она равна

Среднее квадратическое отклонениее  Вероятность того, что брак встречается в партии не более чем m раз, называют  кумулятивной (накопленной) вероятностью:

При m = n Р(m) = 1, так как сумма всех вероятностей (достоверного события) равна 1.
Если испытать партию из п изделий и определить количество годных п—k1 и бракованных k1, то найденные k1/n и (п— k1)/n (их называют частостями событий) будут отличаться от p(k), р(п—k). Однако многократное повторение подобных испытаний приведет к тому, что средние значения частостей будут приближаться к вероятностям и сравняются с ними при бесконечно большом повторении испытаний.
Примером распределения непрерывной величины может служить очень часто встречающееся в технике нормальное, или гауссовское, распределение (рис. 2.1):

Здесь f(x) — плотность распределения вероятности, она показывает вероятность того, что изучаемая величина лежит в бесконечно узком интервале от х до x+dx. Среднее значение х и дисперсия D

Вероятность того, что измеряемая величина не превосходит некоторое заданное х, называют интегральным, законом, распределения:  Если исследуемая величина (например, прочность) не имеет отрицательных значений, то нижний предел интегрирования равен 0.

Рис. 2.1. Нормальный закон распределения.
На кривых указано среднее квадратическое отклонение

Нормальное распределение характеризует разброс относительно среднего значения механических свойств материалов (прочности, упругости), результатов различных измерений (измерения размеров дефектов). Из рис.2.1 видно, что чем больше а, тем шире кривая распределения относительно среднего значения. При этом полная площадь под кривыми распределения остается равной 1 (F(¥) = 1). Если пределы интегрирования ограничить конечным значением х – х0, то F(x0) < 1. Если принять х0 = x ± 3σ, то F(x0) = 0,9973. Это означает, что практически все возможные значения случайных событий лежат в, интервале х ± 3σ. В интервале х±2σ содержится приблизительно 95% вероятностей случайных событий. Существует строгое доказательство (теорема Лапласа), что при большом n биномиальное распределение с хорошим приближением (тем точнее, чем больше n) может быть описано с помощью нормального распределения с тем же средним значением и дисперсией, что у биномиального. Из этого следует, что интервал х±3σ охватывает практически все возможные значения случайных величин не только для нормального, но также и для биномиального распределения.

§ 2.2 Использование статистики при регулировании качества

Для обеспечения обратной связи «контроль — производство» результаты контроля должны быть обработаны так, чтобы показать, является ли зафиксированный уровень дефектности случайным или систематическим, требующим корректировки технологии. Один из способов решения этой задачи заключается в применении техники контрольных карт [4]. Покажем способ построения такой карты по альтернативному признаку, т.е. «годен — брак».
Для продукции, выпущенной за предшествующий период времени, определяют среднее значение уровня брака  и наносят его на карту (рис. 2.2). Для каждой партии вновь выпущенной продукции путем выборочного контроля п изделий находят уровень брака. Если в выборке обнаружено k бракованных изделий, то вероятность (точнее, частость) брака p(k)=k/n. Однако это значение случайно, и чтобы по нему составить общее представление об уровне брака в выборке, нужно оценить степень возможного его отклонения от среднего значения р.

Рис. 2.2. Контрольная карта, применяемая для анализа дефектности объектов
относительно среднего уровня

В рассматриваемом случае вероятность подчиняется биномиальному распределению с общей вероятностью брака в партии р=. Для этого распределения интервал в 3σ записывают в виде . Переходя к понятию частости, поделим это выражение на п: . Найденное выражение определяет верхнюю (ВГР) и нижнюю (НГР) границы регулирования на контрольной карте. Интервал между границами тем уже, чем больше объем выборки n. Попадание найденного значения в пределы этого интервала свидетельствует о том, что в технологии процесса по-видимому нет систематических нарушений. Если p(k) больше ВГР, то брак наверняка не случаен и необходимо искать ошибки в технологии изготовления, а если p(k) меньше НГР, то требуется существенное улучшение качества или возможно нарушение технологии контроля.
Здесь показан пример простейшей контрольной карты. Значительно более полную информацию об уровне качества дают карты, построенные по количественным признакам, например по измерению среднего значения прочности, точности изготовления изделий [4, 20].

§ 2.3 Обоснование планов выборочного контроля
При разрушающем (в некоторых случаях также и при неразрушающем) контроле применяют способ выборочного контроля, который выполняют по определенным правилам, называемым планом контроля [4, 20]. План включает совокупность данных о виде контроля (разрушающий или неразрушающий), объеме контролируемой партии, объеме выборок, решающем правиле (оценке годности партии). Важно, чтобы выборка была действительно случайной, а не преднамеренной, т.е. чтобы вероятность попасть в выборку была одинаковой для любой единицы продукции.
Наибольшее распространение получил план одноступенчатого (жесткого) контроля по альтернативному признаку. Согласно этому плану от общего объема партии в N изделий берут выборку в п штук (это обычно 2, 5 или 20% от всей партии), на основании результатов испытаний которой судят о качестве всей партии.
При оценке по альтернативному признаку (т.е. «годен — брак») учитывают отношение количества бракованных изделий m к общему количеству изделий в выборке п : q = m / n. Устанавливают браковочный уровень q0. Если уровень брака в выборке q > q0, то всю партию изделий либо бракуют (возвращают изготовителю), либо подвергают более точному (сплошному) контролю.
На практике встречаются такие случаи, когда партия изделий может быть принята без особого ущерба для потребителя при наличии некоторой доли ра дефектных экземпляров. В различных партиях изделий объемом N уровень брака, т.е. его вероятность р, может быть и больше и меньше р0. Задача состоит в том, чтобы при минимальном количестве изделий в выборке из каждой партии так подобрать п и q0, чтобы возможно более точно забраковать партии с р>р0, допуская минимальную недобраковку и перебраковку.
На рис. 2.3 показана оперативная характеристика жесткого контроля: вероятность приемки Рр в функции от р и п. Если испытания проходит вся партия в N изделий, и ошибки в испытаниях отсутствуют, то оперативная характеристика изобразится ступенчатой линией 1, это идеальный случай. Реальные оперативные характеристики 2 будут тем более пологими, чем меньше n/N. Форма кривых 2 помимо n/N зависит также от принятого значения q0.
В настоящее время из стремления к повышению качества продукции при выполнении выборочного контроля часто задают q0 = 0, т.е. в выборке не должно быть бракованных изделий (ГОСТ 16493 - 70). В этом случае, однако, также возможна приемка партии с некоторой вероятностью наличия дефектных изделий.

Рис. 2.3. Оперативные характеристики сплошного (1) и выборочного (2) контроля. Вероятность приемки партий рр, вероятность брака в партии р, в выборке q

Более полную информацию о качестве партии продукции дают последовательные планы контроля. В этом случае устанавливают минимальный объем выборки nmin из партии N, по результатам испытания которой принимают одно из трех решений: партию принимают, если доля брака в выборке меньше q1 бракуют, если доля брака в выборке больше q2 испытания продолжают по второй выборке, если доля брака лежит между q1 и q2. Чаще всего ограничиваются двуступенчатым контролем (ГОСТ 18242 - 72), план которого предусматривает, что объем второй выборки равен объему первой, а уровень брака оценивают суммарно по двум выборкам. По этому результату принимают окончательное решение.
Выборочный контроль по количественному признаку (ГОСТ 20736 - 75) заключается в том, что у определенного количества единиц продукции (выборка) измеряют значение контролируемого параметра, вычисляют среднеарифметическое для выборки и оценивают его отклонение от граничного значения. Иногда принимают два (верхнее и нижнее) граничных значения. Эти отклонения сравнивают с заранее установленными контрольными нормативами и по результатам сравнения принимают решение о соответствии или несоответствии продукции установленным требованиям. При таком контроле ставится задача оценки некоторой измеряемой величины X (прочности материала, числа выявленных дефектов, размера изделий) в большой партии изделий N (генеральной совокупности) путем измерения х в выборке из п случайно отобранных образцов. С помощью теории вероятности нужно решить задачу о необходимом количестве образцов для достижения требуемой точности оценки.
Величина X в генеральной совокупности является случайной и, как правило, подчиняется нормальному закону распределения. Например, статическая прочность материала определенной марки имеет некоторое среднее значение  и дисперсию σ, составляющую около 10% от . Разброс связан не только с погрешностью измерения X, но и со случайным изменением свойств материала. Будем считать, что дисперсия для генеральной совокупности известна, а при выборочном контроле требуется оценить среднее значение  и сопоставить его с.
Среднее значение  выборки также случайная величина. Достоверность, с которой она характеризует измеряемый параметр  с заданной погрешностью δ, определяется доверительной вероятностью р (δ и р считаем заданными). Доверительная вероятность показывает, с какой надежностью обеспечивается требуемая точность измерений.
Из теории вероятности [6] известно, что средние значения  для ряда выборок из одной и той же генеральной совокупности также подчиняются нормальному закону распределения, как и генеральная совокупность; среднее значение распределения  совпадает с , а дисперсия средних значений σ() тем меньше, чем больше объемы выборок n : σ2 () = σ2 / п.
Для доверительной вероятности 0,68 получают соотношение
                                                                   (2.1)
где δ — допустимая погрешность измерения. Она показывает возможное отклонение среднего значения выборки от среднего значения генеральной совокупности и имеет смысл среднеквадратичного отклонения выборки.
Когда оценку выполняют не по альтернативному, а по количественному признаку, информация о дефектности или качестве продукции (с требуемой точностью) может быть достигнута при меньшем объеме выборки, причем необходимое количество испытаний тем меньше, чем меньше разброс контролируемого признака в генеральной совокупности, как видно из (2.1).

§ 2.4 Вероятностное обоснование норм допустимости дефектов
При обосновании норм допустимости дефектов (несплошностей) требуется прежде всего ввести некоторый единый показатель, характеризующий дефектность изделий. Чаще всего используют суммарную площадь дефектов , отнесенную к площади сечения изделия S, поскольку уменьшения площади сечения характеризует уменьшение прочности на разрыв. Однако такой подход требует уточнения.
С точки зрения работоспособности изделия, особенно испытывающего многократные (усталостные) нагрузки, наиболее опасны плоские дефекты с острыми краями: трещины, неслитины (в литье), непровары (в сварных швах) (§ 5.2, 5.5). Дефекты округлой формы (шлаковые включения, газовые поры) менее опасны. С учетом изложенного при определении дефектности следует не просто суммировать площади дефектов, а вводить коэффициенты rk, характеризующие влияние дефекта на работоспособность изделия. В результате показатель дефектности определяют как . Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 6.2.
При определении норм допустимых дефектов необходимо учитывать несколько аспектов. С точки зрения эксплуатации важно оценить влияние дефектов на работоспособность изделия. Здесь учитывают характер нагрузки изделия (статическая, динамическая, усталостная), причем в зависимости от этого будут изменяться коэффициентыrk, принимают во внимание неизбежный разброс свойств материала изделия.
Технологический аспект обоснования норм допустимых дефектов учитывает возможность изготовления изделия с минимальной дефектностью и необходимость поддерживать такое качество технологического процесса, чтобы уровень дефектности был всегда ниже уровня, требуемого эксплуатационной надежностью. Таким образом, нормы допустимых дефектов, выбираемые из требований технологического аспекта, должны быть более жесткими, чем из эксплуатационного.
К технологическому аспекту примыкает экономический. Совершенствование технологии с целью уменьшения дефектности связано с определенными затратами. С другой стороны, низкий уровень технологии приведет к большим эксплуатационным расходам на простой и ремонт оборудования. Нормы дефектов должны соответствовать минимуму суммарных расходов (§ 7.3).
На практике многие данные, необходимые для установления норм дефектности, оказываются неизвестными. Поэтому конструктор выбирает материалы и размеры изделия исходя из отсутствия в материале дефектов и принимает некоторый коэффициент запаса прочности, который учитывает в том числе и возможность наличия дефектов. Предприятие выпускает изделие, сообразуясь с возможностями технологии, условиями приемки, которые зависят от степени ответственности объекта. На основании опыта НК первых партий изделий или аналогичной продукции устанавливают нормы дефектности, с тем чтобы брак не превышал определенной доли от выпуска. Однако с совершенствованием производства происходит постепенный переход к установлению научно обоснованных норм дефектности.
Дефектоскопический аспект обоснования норм допустимых дефектов определяется особенностями применяемого метода контроля. От этого зависит надежность выявления дефектов различных типов (видов), объем сведений о них и степень достоверности этих сведений. С учетом изучаемого предмета рассмотрим вопрос обоснования норм в дефектоскопическом аспекте.
Предположим, нормы по дефектности с учетом вида дефектов установлены и стоит задача выбора норм для дефектоскопирования.

Рис. 2.4. Обоснование норм разбраковки объектов при неразрушающем контроле

Практически для большинства методов НК существуют признаки, позволяющие квалифицировать тип дефекта. Если эти признаки говорят о том, что дефект плоский (с большим rk), то его, как правило, относят к недопустимому. Остается, однако, задача, как выбрать измеряемые параметры для дефектов других типов, чтобы нормы браковки по показаниям методов НК оптимально соответствовали установленным нормам. Задача эта относится к теории оптимальных решений или математической теории игр. Многочисленные исследования показали, что чем крупнее дефект, тем меньше вероятность его появления. Хорошей аппроксимацией распределения дефектов по реальным размерам (параметру X) служит экспоненциальное распределение (рис. 2.4, а) [4, 6]:

Задача установления детерминированной связи между параметрами X и х, где х — размер дефекта, измеряемый неразрушающим методом — одна из важных для применяемого метода НК. Предположим, зависимость х от X установлена. Воспользовавшись ею, можно перейти к распределению дефектов по параметру х (рис. 2.4, б). Аналогичным образом можно пересчитать установленный уровень браковки X0 в х0 — браковочный критерий по показаниям метода НК. Однако ниже будет показано, что выбор Х0 нуждается в уточнении.
Если бы процесс дефектоскопии позволял измерять параметр с абсолютной точностью, то мы могли бы разделить все дефекты на две группы: х < х0 и х > х0 (кривая 1 на рис. 2.4, в). Однако в действительности измерения выполняются приближенно, а результаты измерения х0 группируются относительно этого значения по нормальному закону. Поскольку стоит задача разделить дефекты на большие и меньшие относительно х0, следует воспользоваться интегральной кривой нормального распределения N(x) (кривая 2 на рис. 2.4, в).
В результате перемножения вероятностей р(х) и N(x) получим нижнюю кривую на рис. 2.4, г. На рисунке указаны области, соответствующие правильному забракованию I, правильной оценке годности продукции II и области ошибок от перебраковки III площадью α и недобраковки IV площадью β. Точку х0 можно перемещать по оси х и получать различные α и β. Если принять стоимости ошибок, связанных с недобраковкой (I) и перебраковкой (F) равными, то оптимальное значение х0 будет соответствовать минимуму суммарной площади α+β (рис. 2.4, д). Этот критерий называют критерием идеального наблюдателя. Если I>F и I/F=V, то оптимум будет соответствовать минимальному значению α+Vβ (критерий Байеса). Иногда выдвигают задачу, чтобы значение β не превосходила некоторого β0 — Это критерий Неймана—Пирсона, который применяют в тех случаях, когда ущерб от недобраковки нельзя оценить в стоимостном выражении и найти значение V. В этом случае положение точки х0 будет определяться заданной площадью β0 — Эти вопросы рассмотрены в гл. 6, а также в кн. 5.
В реальных условиях эксперимента нет необходимости построения всех показанных на рис. 2.4 кривых. Достаточно для некоторой выборки провести НК с измерением параметра х. Далее с помощью разрушающего контроля оценить допустимость каждого дефекта с точки зрения установленной нормы дефектности, при этом следует выявить и учесть также не обнаруженные при контроле дефекты. Затем, принимая ряд значений х гипотетически, за х0, рассчитать для них суммы перебракованных и недобракованных изделий (если, например, пользоваться критерием идеального наблюдателя) и получить кривую, минимум которой укажет оптимальное значение x0. При таком эксперименте отпадает необходимость в оценке зависимостей р(Х), Х(х) и точности измерения параметра х.

Задача.
2.1. Дисперсия прочности стали определенной марки известна: σ = 4,5 кгс/мм2. Проверку прочности данной плавки выполняют испытанием на разрыв образцов. Сколько образцов (n) необходимо взять, чтобы с доверительной вероятностью 0,68 ошибка этих испытаний не превышала 2 кгс/мм2 ?
Решение: В формуле (2.1) принимаем δ = 2 кгс/мм2. Тогда n = (σ/δ)2 = (4,5/2)2»5 образцов.

НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ. Кн. I. Общие вопросы. Контроль проникающими веществами. Гурвич, Ермолов, Сажин.